Clase #19: Plano tangente

Como sabemos para forma la ecuacion de un plano tangente a cualquier superficie en un punto dado es necesario conocer el vector perpendicular a la superficie en el Punto P.

El problema radica en como obtener dicho vector perpendicular, pues bien la forma mas facil es obtener el vector gradiente de dicha superficie en el punto P y con esta lograremos formar la ecuacion del plano tangente a dicha superficie , veamos:

Ecuacion de un plano:

Ejemplo:

Clase #19: Vector Gradiente

El vector gradiente fue muy usado en las derivadas direccionales aunque nunca lo definimos.
En forma simple es un vector formado por las primeras derivadas parciales de un funcion.

Entonces la derivada direccional de una funcion en direccion de un vector es:

Ejemplo:





























Si f es una función de 3 variables dicho vector gradiente se expresa de la siguiente forma:

Y la derivada direccional de f respecto a cualquier vector es:

Clase #19: Derivadas de orden Superior

Si f es una funcion de 2 variables sus derivadas parciales tambien lo son.
De modo que las derivadas parciales de las derivadas parciales de f se las llama segundas derivadas parciales de f.
Su notacion es:

la notacion fxy quiere decir que primero se debe derivar f respecto a y y ese resultado lo volvemos a derivar respecto a x.
Ejemplo:

Existen varios teoremas que nos reducen el calculo de las segundas derivadas, esos teoremas son los siguientes:

Ejemplo:

Clase #18: Derivadas direccionales

Si se necesita encontrar la razon de cambio de z=f(P) en direccion de un vector unitario u=<a,b>, donde P es cualquier punto de 2 componentes.
Consideramos una superficie S que es z=f(x,y), hacemos zo=f(xo,yo) que representa un punto en la superficie S dando un punto P(xo,yo,zo).
El plano vertical que pasa por P en direccion de u corta a S en la curva C.

LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE T a C  en el punto P es LA RAZON DE CAMBIO de z en la direccion de u.

Grafico:

En resumen el planteamiento de dicha razon de cambio es:

Otra forma mucho mas facil de platearla es la siguiente:

Ejemplo:

Grafica:

Clase #17: Derivadas Parciales

Representa la razon de cambio de una funcion en un punto dado con respecto a una variable independiente.

f es una funcion de 2 variables independientes.

La derivada parcial de f con respecto a x en el punto P(a,b) se esribe de la siguiente forma:

Recordando que la definicion de derivada es un limite entonces:

Al sustituir dicho limite en la ecuación de derivada parcial respecto a x da:

dicha ecuacion anterior representa la derivada parcial respecto a x en cualquier punto de dimension R2.

Por tanto para derivar parcialmente respecto a y seria:

Otras notaciones para derivadas parciales son las siguientes:

Uno forma mas facil para calcular dichas derivadas parciales es la siguiente regla:

Ejemplo:

INTERPRETACION DE LAS DERIVADAS PARCIALES

z=f(x,y) no representa una superficie , es un valor puntual.

La interpretacion geometrica es que las derivadas parciales son las pendientes de la tangentes a las trazas c1 y c2 de la superficie S en los planos y=b y x=a en el punto P(a,b,c)

Ejemplo:

Para terminar miremos las derivadas parciales para funciones de 3 variables.

El planteamiento es similar al de 2 variables miremos:

En forma general:
siendo u una funcion de n variables u=f(x1,x2,...,xn), su derivada parcial respecto a la i-esima variable xi es:

Ejemplo:

Vector Tangente Unitario , Normal Unitario y Binormal Unitario

VECTOR TANGENTE UNITARIO

VECTOR NORMAL UNITARIO

VECTOR BINORMAL UNITARIO

Funciones Vectoriales

FUNCIÓN VECTORIAL

La posicion de un punto sobre una curva en el espacio se la puede representar con funciones parametricas para facilitar su estudio.

x=f(t)    y=g(t)   z=h(t)

donde t es lo conoce como parametro y puede representar el tiempo, temperatura, velocidad del vientos, etc.

Propiedades de una funcion vectorial:

Integral Indefinida de una funcion vectorial:

Superficies

SUPERFICIES

Superficies importantes: