Clase #28: Aplicaciones de las integrales Multiples

Integrales dobles:

Densidad y masa:
Masa:

a la densidad se la puede entender como densidad de carga permitiendo calcula la carga total

Momentos de una lamina respecto de un eje :

Centro de masa de una lamina:

Ejemplo:

Momentos de inercia respecto a un eje o al origen:

Integrales triples:
Para dichas integrales las formulas son muy parecidas un resumen rapido:

Ejemplo:

Clase #25 - #26: Cambios de variable en las integrales

Cambios de varibles
Tanto en la integral doble como en la triple se pueden usar el cambio variables los 3 tipos de cambios mas usados son:
1: polar
Consiste en hacer x=rcos(a) , y= r sen(a)
donde r es el radio de una circunferencia y a es el angulo que este dicho radio forma con el eje positivo x

ejemplo de su aplicacion:

2: Cilindrica
Se la aplica con frecuencia cuando las figuras de interes tienen simetria con el eje z
la unica diferencia con las coordenadas polares es que el eje z=z

Ejemplo:

3: Coordenadas Esfericas
Su aplicacion se la debe hacer cuando las superficies tienen simetria con el origen de coordenadas

Ejemplo:

No olvidar que en cada tipo de cambio de variable se debe usar su respectivo jacobiano
para polares es J=r
cilindricas es J-r
y esfericas es

Clase #26: Integral Triple

Integral Triple
La integral triple sirve para calcular volumenes de volumenes y por supuesto volumenes
de figuras muy complicadas

Ejemplo de la aplicacion de integral triple:

Clase #24 - #25: integrales Dobles

Integrales dobles
Las integrales dobles nos permiten simplificar la obtencion de un area o volumun muy dificil de calcular de a través de la integral simple
Ejemplo:

Las integrales dobles siguen las mismas propiedades que las integrales simples

Ejemplo de integral doble para la obtencion de un volumen sobre una region:

Clase #23: Multiplicadores de Langrange

Este método permite optimizar una función a base de funciones de restricción , ya que es mas facil aplicarlo para funciones de 2 variables permitiéndonos maximizara o minimizarla

El criterio de aplicación es el siguiente :
Igualar el vector gradiente de la función a optimizar y el gradiente de la función restricción multiplicado por una constante.

A dicha constante lo llamamos multiplicador de langrange

Ejemplo:

Con 2 restricciones:

Para saber si es posible aplicar el metodo se debe realizar el producto cruz de los gradientes de las 2 restricciones , si este da 0 es posible aplicarlo debido a que las funciones restricciones no son paralelas.

la forma de aplicarlo es similar a una restriccion

Ejemplo:

Clase #22: Máximos y mínimos

Al graficar una funcion vectorial se puede presentar picos o cumbres las cuales llamamos maximos relativos  y depresiones las cuales llamamos minimos relativos

Si lo necesitamos es buscar los valores maximos o minimos de una funcion en una determinada area, estos valores pasan a llamarse maximos y minimos absolutos

Para determinar un punto estacionario realizamos lo siguiente

P(a,b,c) es el punto o puntos buscados

Para facilitar el calculo de maximos y minimos se aplica el siguiente criterio:

Ejemplo

Clase #21: Regla de la cadena

Recordemos:

si y=f(x)  y  x=g(t), donde f y g son funciones compuestas diferenciables entonces la diferencial de y respecto a t es:

Como podemos ver se aplico la regla de la cadena, ahora si una función depende de mas de una variable z=f(x,y)  donde x=g(t)  y  y=h(t)  entonces la aplicación de la regla de la cadena para obtener la diferencial de f respecto a t es la siguiente:

Ejemplo:

Ahora una forma con una dificultad distinta es:

z=f(x,y) donde x=g(s,t)  y y=h(s,t)  siendo todas funciones compuestas de minimo 2 variables independientes y ademas diferenciables.

Entonces para calcular la diferencial de f respecto a s y a t es de la siguiente forma:

Ejemplo:

DIAGRAMA DE ARBOL DE VARIABLES DE UNA FUNCIÓN
Digamos que z esta en función de x y y , pero al mismo tiempo x y y esta en funcion de s y t
En forma de ecuación:
z=f(x,y)
x=g(s,t)
y=h(s,t)
Se grafica un arbol no necesariamente binario para poder determinar cuales son las variables independientes y dependientes:

Variables dependientes: se encuentran en los niveles intermedios del arbol es decir entre la raiz y el nivel mas bajo.

Variables independientes: se enecuentran en el nivel mas bajo del arbol.

REGLA DE LA CADENA EN FORMA GENERAL :

suponemos que z es una función compuesta de n variables xi y ademas cualquier variable xi de z es otra función compuesta de m variables t , para obtener la diferencial de z respecto a t se realiza lo siguiente:

Ejemplo:

Como se observa en el ejemplo es aconsejable dibujar dicho árbol de variables para evitar confusiones.

Clase #21: Diferenciales

Diferenciales

Si una función diferenciable de una variable y=f(x)
Diferencial de x (dx): es una variable independiente (puede tener el valor de cualquier numero real).
Diferencial de y (dy):      dy=f′(x)dx.

Si una función diferenciable de 2 variables z=f(x,y).
dx, dy son variables independientes (pueden tomar cualquier valor)
Diferencial Total o diferencial de z (dz):   

Si dx=Δx=x-a, dy=Δy=y-b entonces dz=f_{x (a,b)(x-a)+}f_{y (a,b)(y-b)}

Clase #21: Diferenciabilidad

Diferenciabilidad

Clase #20: Incrementos

Incrementos

Si f es derivable en a entonces:

El incremento de Δz representa el cambio de valor  de f cuando (x,y) pasa de (a,b) a (a+Δx,b+Δy).