Clase #21: Regla de la cadena

Recordemos:

si y=f(x)  y  x=g(t), donde f y g son funciones compuestas diferenciables entonces la diferencial de y respecto a t es:

Como podemos ver se aplico la regla de la cadena, ahora si una función depende de mas de una variable z=f(x,y)  donde x=g(t)  y  y=h(t)  entonces la aplicación de la regla de la cadena para obtener la diferencial de f respecto a t es la siguiente:

Ejemplo:

Ahora una forma con una dificultad distinta es:

z=f(x,y) donde x=g(s,t)  y y=h(s,t)  siendo todas funciones compuestas de minimo 2 variables independientes y ademas diferenciables.

Entonces para calcular la diferencial de f respecto a s y a t es de la siguiente forma:

Ejemplo:

DIAGRAMA DE ARBOL DE VARIABLES DE UNA FUNCIÓN
Digamos que z esta en función de x y y , pero al mismo tiempo x y y esta en funcion de s y t
En forma de ecuación:
z=f(x,y)
x=g(s,t)
y=h(s,t)
Se grafica un arbol no necesariamente binario para poder determinar cuales son las variables independientes y dependientes:

Variables dependientes: se encuentran en los niveles intermedios del arbol es decir entre la raiz y el nivel mas bajo.

Variables independientes: se enecuentran en el nivel mas bajo del arbol.

REGLA DE LA CADENA EN FORMA GENERAL :

suponemos que z es una función compuesta de n variables xi y ademas cualquier variable xi de z es otra función compuesta de m variables t , para obtener la diferencial de z respecto a t se realiza lo siguiente:

Ejemplo:

Como se observa en el ejemplo es aconsejable dibujar dicho árbol de variables para evitar confusiones.