Clase #33: Teorema de Green

La orientación positiva sobre una curva en un plano es en el sentido anti horario por convención.

otras formas de notación:

Ejemplo:

ÁREAS :
El teorema de green proporciona las siguientes formulas para determinar el area:

Ejemplo:

Clase #32: Consevacion de la energia

De acuerdo a la 2da ley de Newton

Donde el trabajo efectuado sobre un objeto al cambiar su posicion es:

donde

y la energia cinetia es:

entonces dicho trabajo es la diferencia de las energias cineticas de cada punto extremo:

como sabemos por física el cambio de energia cinetica es el inverso del cambio de energia potencial si F es campo conservativo

 Como podemos notar en las ecuaciones lo unico que interesa es los puntos extremos ya no su trayectoria entonces entendemos que F es un campo conservativo por esta razon se llama Conservacion de la energia y por eso a F se le llama conservativo

Clase #31: Teorema Fundamental de la intregal de linea

Establece que si F es un campo vectorial conservativo, para evaluar dicha integral lo unico que importa es el punto de inicio y fin , ya no la trayectoria que los une.

Ejemplo:

Si deseamos intregrar sobre una curva a trozos sabiendo que F es campo vectorial conservativo entonces:

Es conservativo:
1.- 
2.- 


Independecia de la trayectoria:

F es independiente si:

1.- es campo vectorial conservativo

2.- si cumple:

Ejemplo:

Por ultimo: si F es conservativo entonces F es un vector gradiente de una funcion escalar.
Ejemplo:

Clase #31: Trabajo con integral de linea

El trabajo es la fuerza que se aplica al mover un objeto de un punto A a un punto B

Trabajo: W

Es una funcion vectorial:

El trabajo se lo puede expresar de la siguiente manera:

1.- Representa la integral de linea respecto a la longitud  de arco de la componente tangencial de la fuerza

2.-A través de una curva vectorial C

3.- De la forma:

Evidencias

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Funciones Varias Variables

Corrección Examen 1

Deber 7: Derivadas Parciales

Deber 8: Derivadas Parciales

Deber 9: Aproximaciones Lineales

Deber 10: Máximos y mínimos

Deber 11: Integrales múltiples 1

Deber 12: Integrales múltiples 2

Corrección Prueba 3

Deber 13: Campos Vectoriales

Deber 14: Integral de Linea

Deber 15: Teorema Fundamental Integral de Lineas

Deber 16: Rotacional

Actividad en clase

Actividad en clase

Actividad en clase

Corrección Prueba 4

Examen 2

Clase #31: Integrales de Linea en el espacio

Ahora la curva esta en el espacio por tanto la integral dispondra de 3 variables

Un caso especial es si la funcion f(x,y,z)=1, entonces :

Otra forma de escribir la integral de linea el en espacio es :

Ejemplo:

Clase #31: Integrales de Linea con respecto a una longitud de arco o una recta

Con respecto a una longitud de arco:

Con respecto a una recta:

Ejemplo:

Clase #31: Aplicacion Integrales de Linea

Obtencion de la masa de un alambre :

Centros de masa del alambre con una funcion de densidad no constante

Ejemplo:

Clase #31: Integrales de Linea

La diferencia con la integral simple es que no se integra de un punto al otro, se integra sobre un curva que nos importa.

f(x,y)= puede parametrizarse como se mira en la formula de arriba que esta parametrizada respecto a la variable t

Clase #30: Rotacional y divergencia

El calculo vectorial es fundamental en las aplicaciones a fluidos, electromagenetismo y electricidad.
Existes 2 operaciones que nos facilitan los calculos complejos en estos campos.

ROTACIONAL
Se lo define atravez de la siguiente ecuacion:

Sabiendo que F es una funcion vectorial sobre R3 y existen derivadas parciales para P,Q,R.

Para formar la ecuacion de el rotacional de un campo vectorial F se realiza lo siguiente:

Se usa un operador diferencial vectorial conocido como nabla y su ecuacion es la siguiente:

Se realiza producto vectorial entre el operador nabla y el campo vectorial:

Como se observa este producto vectorial da como resultado un vector que es el buscado rotacional de F.

En resumen:

Ejemplo de su aplicación

Campo conservativo:
Para determinar si un campo es conservativo es necesario la condicion suficiente de que:

Ejemplo:

Observaciones:
En un fluido si el rotacional es cero se dice que el irrotacional, esto quiere decir que el rotacional nos da informacion acerca del aspecto giratorio o rotatorio del fluido.


DIVERGENCIA:
Otra operacion muy importante en los campos anteriormente mencionados es la divergencia , esta operacion nos indica información acerca del flujo  deshospedamiento de masa.

Se lo define con la siguiente ecuacion:

Donde F es un campo vectorial, pero divF es un campo escalar.

En resumen

Ejemplo:

Clase #29: Campos Vectoriales Conservativos

Es conservativo si cumple la condicion suficiente siguiente:

Clase #29: Campos vectoriales

Notacion de un campo vectorial

Ejemplo: